【SymPy】（六）微积分

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【SymPy】（五）简化

本文代码在Jupyter QtConsole中执行。

计算表达式的导数，使用diff函数。

diff可以同时求多次导数。若要求多次导，可根据需要多次传递变量，或者在变量后面传递一个数字。如：

你也可以一次对许多变量求偏导。只需按顺序传递每个变量，使用与单变量导数相同的语法。

diff也可以作为方法调用：

要创建未计算的导数，请使用Derivative类。它的语法与diff相同。

要计算未计算的导数，请使用doit方法。

可以使用元组(x,n)创建未指定次数的导数，其中n是导数相对于x的求导次数。

要计算积分，使用integrate()。有两种积分，定积分和不定积分。要计算一个不定积分，只需在表达式后面传递变量。

注意，SymPy不定积分的结果不包括积分常数。如果你想，你可以自己加一个。

注： ∞ ∞ ∞在SymPy中是 oo

要计算定积分，请传递参数(积分变量、下限、上限)。 例如,计算： ∫ 0 ∞ e − x d x \int_{0}^{\infty} e^{-x} d x ∫0∞​e−xdx

与不定积分一样，可以传递多个限制元组来执行多重积分。例如，计算 ∫ − ∞ ∞ ∫ − ∞ ∞ e − x 2 − y 2 d x d y \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^{2}-y^{2}} d x d y ∫−∞∞​∫−∞∞​e−x2−y2dxdy

如果integrate无法计算积分，它将返回一个未赋值的Integral对象。

Integrate使用不断改进的强大算法来计算定积分和不定积分，下面是其功能的示例：

SymPy可以用limit函数计算符号极限。 计算

lim ⁡ x → x 0 f ( x ) \lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x) x→x0​lim​f(x)

的语法为： limit(f(x), x, x0)，如：

当要计算的点是间断点时，应使用limit而不是sub。另外，像 ∞ − ∞ ∞−∞ ∞−∞和 ∞ ∞ ∞∞ ∞∞这样的结果返回nan（不是数字）。例如

像Derivative和 Integral一样，极限也有一个未赋值的对应项，Limit。要计算它，可使用doit。

若要仅计算一侧的限制，请传递“+”或“-”作为限制的第四个参数。例如，计算 lim ⁡ x → 0 + 1 x \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{1}{x} x→0+lim​x1​

另一侧：

SymPy可以计算函数围绕一点的渐近级数展开。

SymPy可以计算函数在一点的渐近级数展开。 计算 f ( x ) f(x) f(x)在 x = x 0 x=x_0 x=x0​点附近的 n n n次方展开式，使用f(x).series(x，x0，n)。

x0和n可以省略，在这种情况下，将使用默认值x0=0和n=6。

末尾的 O ( x 4 ) O(x^4) O(x4)表示 x = 0 x=0 x=0时的 Landau 阶项（不要与计算机科学中使用的大 O O O表示法混淆，后者通常表示 x = ∞ x=∞ x=∞时的Landau 阶项）。这意味着所有的 x x x项的幂大于或等于 x 4 x^4 x4被省略。

O ( . ) O(.) O(.)自动地吸收比它高阶的项。在Sympy中它可以在 series之外创建和操作。

如果你不需要 O ( ) O() O()，可使用removeO方法。

O O O表示法支持0之外的任意极限点

如果我们想要一个表达式来估计一条曲线的导数，那么对于这条曲线，我们缺少一个封闭形式的表示，或者对于这条曲线，我们还不知道它的函数值。一种方法是使用有限差分法。

如果已经有一个Derivative实例，则可以使用as_finite_difference方法生成任意阶导数的近似值：

在这里，一阶导数用差分在 x x x附近近似，用步长1等距计算。

我们可以使用任意步长（可以包含符号表达式）：

如果你只是对权重感兴趣，可以手动执行以下操作：

如果觉得使用finite_diff_weights看起来比较复杂，而Derivative实例的as_finite_difference方法不够灵活，那么可以使用 apply_finite_diff， 它以 order, x_list, y_list和x0作为参数：

未完待续：

【SymPy】（七）方程求解

【SymPy】（八）矩阵

【SymPy】（九）高级表达式操作